Nome da Atividade
INTRODUÇÃO À HOMOGENIZAÇÃO MATEMÁTICA
CÓDIGO
0100330
Carga Horária
68 horas
Tipo de Atividade
DISCIPLINA
Periodicidade
Semestral
Modalidade
PRESENCIAL
Unidade responsável
CARGA HORÁRIA TEÓRICA
4
CARGA HORÁRIA PRÁTICA
0
CARGA HORÁRIA EXERCÍCIOS
0
CARGA HORÁRIA EAD
0
FREQUÊNCIA APROVAÇÃO
75%
CARGA HORÁRIA OBRIGATÓRIA
4
CRÉDITOS
4
Ementa
Introdução aos métodos assintóticos; séries assintóticas; solução assintótica formal de famílias de equações diferenciais lineares e não lineares unidimensionais com coeficientes rapidamente oscilantes; perturbações regulares e singulares; método de escalas múltiplas; método de Krylov-Boguliov; método de homogeneização assintótica (MHA); justificação matemática do MHA; aplicações do MHA a problemas com equações elípticas, parabólicas e hiperbólicas com condições de contato perfeito e imperfeito; introdução às técnicas de camada limite e homogeneização reiterada; métodos variacionais de homogeneização; limites variacionais elementares e melhorados; combinação dos métodos assintótico e variacional de homogeneização a problemas não lineares.
Objetivos
Objetivo Geral:
Disciplina optativa do PPG em Modelagem MatemáticaConteúdo Programático
Unidade 1. Introdução aos métodos assintóticos.
1.1 Símbolos de ordem. Propriedades.
1.2 Desenvolvimento assintótico. Cálculo com séries assintóticas. Solução assintótica formal.
1.3 Exemplos de perturbações regulares e singulares.
1.4 Método de escalas múltiplas.
1.5 Método de Krylov-Bogoliubov.
Unidade 2. Método de homogeneização assintótica (MHA)
2.1 Aplicação do MHA para construir uma solução assintótica formal de uma família de problemas unidimensionais do tipo onde e é o operador elíptico unidimensional com coeficientes diferenciáveis rapidamente oscilantes e periódicos.
2.2 Justificação matemática do MHA.
2.3 Generalização do MHA ao caso de coeficientes continuamente diferenciáveis por partes com condições de contato perfeito sobre os pontos de descontinuidade.
2.4 Coeficiente efetivo para a condição de contato perfeito.
2.5 Generalização do MHA ao caso de coeficientes continuamente diferenciáveis por partes com condições de contato imperfeito sobre os pontos de descontinuidade.
2.6 Coeficiente efetivo para a condição de contato imperfeito.
2.7 Exemplo de aplicação do MHA a uma família de problemas parabólicos.
2.8 Exemplo de aplicação do MHA a uma família de problemas hiperbólicos.
2.9 Exemplo de aplicação do MHA a uma família de problemas não lineares.
2.10 Introdução à técnica de camada limite.
Unidade 3. Homogeneização reiterada
3.1 Aplicação do MHA para construir uma solução assintótica formal de uma família de problemas unidimensionais do tipo com e e um operador elíptico unidimensional com coeficientes rapidamente oscilantes e periódicos.
3.2 Justificação matemática do MHA.
3.3 Exemplo de cálculo do coeficiente efetivo via homogeneização reiterada.
Unidade 4, Métodos variacionais de homogeneização.
4.1 Fundamentos teóricos.
4.2 Limites variacionais elementares.
4.3 Limites variacionais melhorados.
4.4 Aplicações a compósitos unidimensionais com leis potenciais.
4.5 Aplicações a compósitos unidimensionais bifásicos.
Unidade 5. Aplicações
5.1 Homogeneização em .
5.2 Apresentação de alguns problemas de interesse atual em aplicações de novos materiais, nanotecnologia, mecânica de ossos, e fluxo em meios porosos.
1.1 Símbolos de ordem. Propriedades.
1.2 Desenvolvimento assintótico. Cálculo com séries assintóticas. Solução assintótica formal.
1.3 Exemplos de perturbações regulares e singulares.
1.4 Método de escalas múltiplas.
1.5 Método de Krylov-Bogoliubov.
Unidade 2. Método de homogeneização assintótica (MHA)
2.1 Aplicação do MHA para construir uma solução assintótica formal de uma família de problemas unidimensionais do tipo onde e é o operador elíptico unidimensional com coeficientes diferenciáveis rapidamente oscilantes e periódicos.
2.2 Justificação matemática do MHA.
2.3 Generalização do MHA ao caso de coeficientes continuamente diferenciáveis por partes com condições de contato perfeito sobre os pontos de descontinuidade.
2.4 Coeficiente efetivo para a condição de contato perfeito.
2.5 Generalização do MHA ao caso de coeficientes continuamente diferenciáveis por partes com condições de contato imperfeito sobre os pontos de descontinuidade.
2.6 Coeficiente efetivo para a condição de contato imperfeito.
2.7 Exemplo de aplicação do MHA a uma família de problemas parabólicos.
2.8 Exemplo de aplicação do MHA a uma família de problemas hiperbólicos.
2.9 Exemplo de aplicação do MHA a uma família de problemas não lineares.
2.10 Introdução à técnica de camada limite.
Unidade 3. Homogeneização reiterada
3.1 Aplicação do MHA para construir uma solução assintótica formal de uma família de problemas unidimensionais do tipo com e e um operador elíptico unidimensional com coeficientes rapidamente oscilantes e periódicos.
3.2 Justificação matemática do MHA.
3.3 Exemplo de cálculo do coeficiente efetivo via homogeneização reiterada.
Unidade 4, Métodos variacionais de homogeneização.
4.1 Fundamentos teóricos.
4.2 Limites variacionais elementares.
4.3 Limites variacionais melhorados.
4.4 Aplicações a compósitos unidimensionais com leis potenciais.
4.5 Aplicações a compósitos unidimensionais bifásicos.
Unidade 5. Aplicações
5.1 Homogeneização em .
5.2 Apresentação de alguns problemas de interesse atual em aplicações de novos materiais, nanotecnologia, mecânica de ossos, e fluxo em meios porosos.
Bibliografia
Bibliografia Básica:
- BAKHVALOV, N & PANASENKO, G.P. Homogenisation: Averaging Processes in Periodic media. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1989. DA ROCHA, F. C. Introdução à Técnica de Camada-Limite. Cadernos de Engenharia de Estruturas: Edição Especial “Método de Homogeneização Assintótica”, São Carlos, v. 12, n. 55, p. 37-50, 2010. PANASENKO, G. P. Homogenization for Periodic Media: From Microscale to Macroscale. Physics of Atomic Nuclei, ISSN 1063-7788, v. 71, n. 4, pp. 681-694, 2008. PANASENKO, G. P. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites. Springer, Berlin, 2005. PAPANICOLAU, G.; BENSOUSSAN, A. & LIONS, J. L. Asymptotic Analysis for Periodic Structures. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1978. PÉREZ-FERNÁNDEZ, L. D. et al. An integrated approach for nonlinear model of composite rod (asymptotic homogenization vs variational principles). Problemy Nelinejnogo Analiza V Ingenernyh Sistemah / Problems of Nonlinear Analysis in Engineering Systems. , v.13, n. 27, pp.50 - 63, 2007. SAMPAIO, M. S. M. & ROCHA, G. L. Aplicação do Método de Homogeneização Assintótica a um problema de valor de contorno com coeficientes periódicos rapidamente oscilantes. Cadernos de Engenharia de Estruturas: Edição Especial “Método de Homogeneização Assintótica”, São Carlos, v. 12, n. 55, p. 1-16, 2010. SANCHEZ-HUBERT, J. & SANCHEZ-PALENCIA, E. Introduction aux méthodes asymptotiques et á homogénéisation. MASON, 1992. TALBOT, D.R.S. Bounds for effective properties of nonlinear composites. Preimpreso No. 98 IIMAS-UNAM, México, 2000.