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Objetivo Geral:

Disciplina de área do PPG em Modelagem Matemática

I. Conceitos introdutórios
1. Vetores e matrizes, equações lineares algébricas, autovalores e autovetores.
2. Normas de vetores e de matrizes, raio espectral, número de condição.
3. Tipos especiais de matrizes: simétricas, ortogonais, positivamente definidas; diagonais, triangulares, matriz banda.
4. Aritmética de ponto flutuante
5. Desenvolvimento de algoritmos e o uso de software SCILAB

II. Métodos diretos de solução de sistemas
1. Eliminação de Gauss:formulação e algoritmo básico, LU decomposição, condições de solubilidade e análise de estabilidade.
2. Eliminação de Gauss com pivotação, matrizes de permutações, análise de estabilidade.
3. Eliminação de Gauss para matrizes especiais (matrizes banda), algoritmo de Thomas.
4. QR decomposição: formulação e algoritmo básico de Gram-Schmidt, algoritmo modificado, análise de estabilidade.

III. Métodos iterativos de solução de sistemas
1. Métodos iterativos: estacionários e não estacionários, lineares e não lineares, ordem do método, consistência
2. Matriz de iteração, convergência e sua velocidade.
3. Método de Jacobi: formulação, algoritmo de solução, propriedades de convergência, versões (ordenação diferente, em blocos)
4. Método de Gauss-Seidel: formulação, algoritmo de solução, propriedades de convergência, versões (ordenação diferente, em blocos)
5. Método SOR: formulação, escolha do parâmetro de relaxação, algoritmo de solução, propriedades de convergência versões (ordenação diferente, em blocos).
6. Métodos de aceleração de convergência: método de Chebyshev, Aitken, pre-condicionamento.
7. Métodos multigrades: formulação básica de duas grades, métodos iterativos envolvidos (suavizadores), prolongação e restrição, análise de convergência.

IV. Métodos de computação de autovalores e autovetores
1. Método de potências e método inverso de potências: algoritmo numérico, condições de convergência.
2. Método QR: algoritmo numérico, condições de convergência.

Bibliografia Básica:

• Axelsson O., Iterative Solution Methods. Cambridge U. Press, 1996.
• Burden R.& Faires, D.., Numerical Analysis. Brooks/Cole Cengage Learning, Ninth Edition, 2011.
• Demmel J.W., Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997.
• Golub G.H., Van Loan C.F., Matrix Computations. John Hopkins U. Press, 1996.
• Meyer C.D., Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. SIAM, 2001.

Bibliografia Complementar:

• Sewell G., Computational Methods of Linear Algebra. Wiley & Sons, 2005.
• Trefethen L.N., Bau D., Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997.
• Watkins D.S. , Fundamentals of Matrix Computations. Wiley & Sons, 2002.
• Wesseling P., An Introduction to Multigrid Methods. Wiley & Sons, 1992.