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Objetivo Geral:

Gerais:
• Conhecer noções básicas sobre a generalização de conceitos e resultados da Análise Real, que se apoiam em propriedades dos números reais relacionadas ao conceito de distância.
• Perceber a ampliação dos conceitos abordados em analogia aos já vistos em Análise Real e estabelecer conexões existentes entre eles.

Específicos:

Habilitar o estudante para a compreensão de conceitos e resultados básicos sobre:
• Espaços Métricos;
• Convergência em espaços métricos;
• Continuidade em espaços métricos.

Unidade 1 - Referências e Terminologia

1.1. Produto Cartesiano, Relações e Funções;
1.2. Conjunto de Índices, Uniões, Interseções e Produtos Cartesianos arbitrários;
1.3. Conjunto Finito, Infinito, Enumerável e Não-enumerável;
1.4. Relações de Equivalência e de Ordem;
1.5. Números Reais e Noções Topológicas na Reta;
1.6. Espaços Vetoriais (conceito e exemplos).

Unidade 2 - Métrica e Espaço Métrico

2.1. Definições e Exemplos;
2.1.1. Métrica, Espaço Métrico, Subespaço e Métrica Induzida;
2.1.2. Exemplos: Espaços Euclidianos, Espaços Normados, de Funções Limitadas, etc.
2.2. Distâncias e Diâmetro de um Conjunto;
2.3. Isometria, Pseudométrica;
2.4. Noções Topológicas em Espaços Métricos:
2.4.1. Bola Aberta, Bola Fechada e Vizinhança (exemplos e propriedades);
2.4.2. Ponto Interior, Conjunto Aberto, Conjunto Fechado;
2.4.3. Ponto Aderente, Ponto de Acumulação;
2.4.4. Espaço Métrico como Espaço Topológico.

Unidade 3 - Seqüências:

3.1. Definição, Subseqüência, Seqüência convergente;
3.1.1. Exemplos;
3.1.2. Noções Topológicas e Limites.

Unidade 4 - Funções Contínuas

4.1. Definição e Exemplos;
4.2. Noções Topológicas, Seqüências e continuidade;
4.3. Álgebra das Funções Contínuas;
4.4. Homeomorfismo;
4.5. Continuidade Uniforme;
4.6. Continuidade das Transformações Lineares;
4.7. Métricas e Normas Equivalentes.

Bibliografia Básica:

• DOMINGUES, Hygino H. Espaços Métricos e Introdução à Topologia. São Paulo, Atual, 1982;
• LIMA, Elon L. Elementos de Topologia Geral. 2. ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1976. (Instituto de Matemática Pura a Aplicada- IMPA, Col. Elementos de Matemática).
• _____. Espaços Métricos. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada-IMPA, CNPq, Livros Técnicos e Científicos, 1977. (Projeto Euclides).

Bibliografia Complementar:

• LIPSCHUTZ, S. Topologia Geral: resumo da Teoria. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1973.
• D’AMBROSIO, Ubiratan. Métodos da Topologia: introdução e aplicação. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1977.
• HÖNIG, Chaim S. Aplicações da Topologia à Análise. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada- IMPA, CNPq, Edgard Blücher, 1976. ( Projeto Euclides ).