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Objetivo Geral:

Geral
Aprofundar o estudo de teoria de números reais e de funções de uma variável real.

Específicos
• Representar a teoria dos números reais e conjuntos numéricos;
• Estudar as principais propriedades topológicas dos subconjuntos da reta;
• Estudar vários tipos de limites e suas propriedades principais;
• Introduzir funções infinitesimais e estudar suas propriedades;
• Estudar classes de funções contínuas;
• Estudar propriedades globais de funções contínuas;
• Introduzir conceito de continuidade uniforme.

Unidade 1 - Números reais:

1.1. Elementos de teoria de conjuntos;
1.2. Números racionais e suas propriedades;
1.3. Conceito de número real;
1.4. Ordenação de conjunto dos números reais;
1.5. Lemas principais;
1.6. Conjuntos limitados e não limitados;
1.7. Teorema sobre cota superior exata (supremo);
1.8. Conceito de conjunto, de transformação, de número cardinal;
1.9. Conjuntos enumeráveis;
1.10. Conjuntos não-enumeráveis;
1.11. Comparação de conjuntos.

Unidade 2 - Teoria de limites

2.1. Conceito de função, conceito de seqüência. Funções elementares;
2.2. Limite de seqüência;
2.3. Definição de limite de uma função por Cauchy e por Geine;
2.4. Propriedades de limites;
2.5. Funções infinitesimais e suas propriedades;
2.6. Limite de soma, produto e quociente;
2.7. Primeiro limite notável;
2.8. Limite de seqüência monótona, limite de função monótona;
2.9. Lema dos intervalos encaixados;
2.10. Limite de subseqüência. Lema de Bolzano-Weierstrass;
2.11. Segundo limite notável;
2.12. Critério de convergência de Cauchy;
2.13. Conceito de limite superior e inferior;
2.14. Classificação de funções infinitesimais.

Unidade 3 - Funções contínuas

3.1. Conceito de função contínua num ponto e num conjunto;
3.2. Continuidade de funções monótonas;
3.3. Continuidade de funções elementares;
3.4. Continuidade de funções compostas;
3.5. Classificação de descontinuidades;
3.6. Propriedades de função contínua num intervalo (teoremas de Bolzano-Cauchy);
3.7. Descontinuidades de funções monótonas;
3.8. Conjuntos abertos e fechados;
3.9. Conjuntos compactos.
3.10. Critério de conjunto compacto;
3.11. Propriedades de funções contínuas em conjuntos; compactos.
3.12. Teoremas de Weierstrass;
3.13. Continuidade uniforme;
3.14. Teorema de Cantor.

Bibliografia Básica:

• Lima E.L. Curso de análise. Vol.1. Coleção Projeto Euclides, IMPA, RJ.
• Almay P. Elementos de cálculo diferencial e integral. Vol. 1,2.
• Rudin W. Principles of mathematical analysis.

Bibliografia Complementar:

• Kolmogorov A.N., Fomin V.S. Introductory real analysis
• Ilyin, Pozniak. Fundamentals of real analysis. Vol.1.
• FIGUEIREDO D. Análise I. LTC.