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Objetivo Geral:

Desenvolver conceitos da sequência e série numérica e funcional; Estudar testes de convergência de séries numéricas e funcionais; Investigar propriedades de integração e diferenciação das séries; Desenvolver conceito de séries de potências;
Estudar as propriedades das séries de potências;
Aplicar as séries de Taylor no desenvolvimento de funções elementares.

Unidade 1 - Seqüências e séries numéricas

1.1. Conceito de seqüência numérica e série numérica;
1.2. Teoremas de comparação para séries de termos positivos;
1.3. Critério integral de convergência das séries de termos positivos;
1.4. Critério de Cauchy de convergência de série arbitrária. Convergência absoluta e condicional;
1.5. Teste de Cauchy e teste de D’Alembert;
1.6. Séries alternadas (teste de Leibniz);
1.7. Testes de Dirichlet e Abel;
1.8. Propriedade associativa da série convergente;
1.9. Propriedade comutativa da série absolutamente convergente;
1.10. Séries condicionalmente convergentes (Teorema de Riemann).

Unidade 2 - Seqüências e séries funcionais

2.1. Conceito de convergência uniforme e não uniforme;
2.2. Critério de Cauchy de convergência uniforme;
2.3. Condições suficientes da convergência uniforme (testes de Weierstrass, de Dirichlet e de Abel);
2.4. Continuidade da função limite de uma série;
2.5. Teoremas de Dini;
2.6. Passagem ao limite do termo ao termo numa série funcional Integração por parâmetro;
2.7. Diferenciação por parâmetro.

Unidade 3 - Séries de potências

3.1. Região de convergência de série de potências. Lema de Abel;
3.2. Cálculo de raio de convergência. Teorema de Cauchy-Hadamar;
3.3. Comportamento de série de potências dentro do círculo de convergência: convergência uniforme, continuidade da some da série, teorema de Abel, integração e diferenciação da série;
3.4. Série de potências como série de Taylor. Condições de desenvolvimento de uma função em série de potências;
3.5. Desenvolvimento de funções elementares em série de potências.

Bibliografia Básica:

• Leithold L. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2.

Bibliografia Complementar:

• Hyslop, James M. Infinite series. Interscience publishers, inc. NY, 1950.
• Lima E.L. Curso de análise. Vol.1
• MUNEM M.A., Foulis D.J. Cálculo. Vol. 2.
• ALMAY P. Elementos de cálculo diferencial e integral. Vol. 3