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Objetivo Geral:

Objetivos gerais

Objetivos Gerais: Apresentar ao aluno as noções elementares da Teoria de Anéis, bem como da Teoria de Corpos. Dar continuidade ao estudo das estruturas algébricas, enfatizando as principais propriedades em cada estrutura.


Objetivos específicos:
– Identificar, compreender e utilizar os conceitos e propriedades das estruturas algébricas: anéis e corpos;
– Desenvolver a capacidade de raciocínio lógico, organizado e dedutivo;
– Desenvolver a capacidade de formulação, interpretação e resolução de problemas.

1. Teoria Elementar de Anéis
1.1 Definição, tipos e exemplos
1.2 Propriedades
1.3 Subanéis e Ideais
1.4 Homomorfismo de Anéis
1.5 Anel Quociente
1.6 Teorema do Isomorfismo
1.7 O Anel dos Quatérnios

2. Domínios Euclidianos
2.1 O domínio euclidiano dos inteiros
2.2 Domínios euclidianos: Definição e exemplos. O domínio euclidiano dos inteiros gaussianos. Um corpo como um domínio euclidiano
2.3 Algoritmo da Divisão
2.4 Máximo Divisor Comum

3. Um problema da Teoria de Anéis: Pequeno Teorema de Fermat – Números inteiros primos que se escrevem como uma soma de quadrados de inteiros

4. Domínios de fatoração única
4.1 O domínio dos inteiros como um domínio de fatoração única
4.2 Domínios de fatoração única

5. Anéis de polinômios sobre corpos
5.1 Definição do anel de polinômios sobre um corpo
5.2 O anel de polinômios sobre um corpo, como um anel de ideal principal
5.3 O anel de polinômios sobre um corpo, como um domínio euclidiano
5.4 Polinômios irredutíveis no anel de polinômios sobre um corpo
5.5 O anel de polinômios sobre um corpo, como um domínio de fatoração única
5.6 Caracterização dos ideais maximais num anel de polinômios sobre um corpo
5.7 O anel de polinômios sobre o corpo dos racionais: Lema de Gauss. O Critério de Eisenstein

Bibliografia Básica:

• DOMINGUES, H.H. Álgebra moderna. São Paulo: Saraiva, 2018. ISBN 9788547223076. E-book.
• GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Projeto Euclides, 2015.
• SILVA, J.C. Estruturas algébricas para licenciatura, v. 3 Elementos de álgebra moderna. São Paulo: Blucher, 2020. ISBN 9788521218548. E-book.

Bibliografia Complementar:

• GABELLI, S. Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois. Disponível em: https://link.springer.com/book/10.1007/978-88-470-0619-5. Acesso em: 10 out. 2023.
• HERSTEIN, I. N. Topics in algebra. New York: John Wiley & Sons, 1976.
• SANTIAGO, F. Álgebra. Porto Alegre: SAGAH, 2021. ISBN 9786556901619. E-book.
• SILVA, J.C. Estruturas algébricas para licenciatura, v.2. Elementos de aritmética superior. São Paulo: Blucher, 2018. ISBN 9788521211471. E-book.
• ZAHN, M. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2021.