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Objetivo Geral:

Disciplina optativa do PPG em Modelagem Matemática

Unidade 1. Introdução aos métodos assintóticos.
1.1 Símbolos de ordem. Propriedades.
1.2 Desenvolvimento assintótico. Cálculo com séries assintóticas. Solução assintótica formal.
1.3 Exemplos de perturbações regulares e singulares.
1.4 Método de escalas múltiplas.
1.5 Método de Krylov-Bogoliubov.


Unidade 2. Método de homogeneização assintótica (MHA)
2.1 Aplicação do MHA para construir uma solução assintótica formal de uma família de problemas unidimensionais do tipo onde e é o operador elíptico unidimensional com coeficientes diferenciáveis rapidamente oscilantes e periódicos.
2.2 Justificação matemática do MHA.
2.3 Generalização do MHA ao caso de coeficientes continuamente diferenciáveis por partes com condições de contato perfeito sobre os pontos de descontinuidade.
2.4 Coeficiente efetivo para a condição de contato perfeito.
2.5 Generalização do MHA ao caso de coeficientes continuamente diferenciáveis por partes com condições de contato imperfeito sobre os pontos de descontinuidade.
2.6 Coeficiente efetivo para a condição de contato imperfeito.
2.7 Exemplo de aplicação do MHA a uma família de problemas parabólicos.
2.8 Exemplo de aplicação do MHA a uma família de problemas hiperbólicos.
2.9 Exemplo de aplicação do MHA a uma família de problemas não lineares.
2.10 Introdução à técnica de camada limite.


Unidade 3. Homogeneização reiterada
3.1 Aplicação do MHA para construir uma solução assintótica formal de uma família de problemas unidimensionais do tipo com e e um operador elíptico unidimensional com coeficientes rapidamente oscilantes e periódicos.
3.2 Justificação matemática do MHA.
3.3 Exemplo de cálculo do coeficiente efetivo via homogeneização reiterada.


Unidade 4, Métodos variacionais de homogeneização.
4.1 Fundamentos teóricos.
4.2 Limites variacionais elementares.
4.3 Limites variacionais melhorados.
4.4 Aplicações a compósitos unidimensionais com leis potenciais.
4.5 Aplicações a compósitos unidimensionais bifásicos.


Unidade 5. Aplicações
5.1 Homogeneização em .
5.2 Apresentação de alguns problemas de interesse atual em aplicações de novos materiais, nanotecnologia, mecânica de ossos, e fluxo em meios porosos.

Bibliografia Básica:

• BAKHVALOV, N & PANASENKO, G.P. Homogenisation: Averaging Processes in Periodic media. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1989. DA ROCHA, F. C. Introdução à Técnica de Camada-Limite. Cadernos de Engenharia de Estruturas: Edição Especial “Método de Homogeneização Assintótica”, São Carlos, v. 12, n. 55, p. 37-50, 2010. PANASENKO, G. P. Homogenization for Periodic Media: From Microscale to Macroscale. Physics of Atomic Nuclei, ISSN 1063-7788, v. 71, n. 4, pp. 681-694, 2008. PANASENKO, G. P. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites. Springer, Berlin, 2005. PAPANICOLAU, G.; BENSOUSSAN, A. & LIONS, J. L. Asymptotic Analysis for Periodic Structures. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1978. PÉREZ-FERNÁNDEZ, L. D. et al. An integrated approach for nonlinear model of composite rod (asymptotic homogenization vs variational principles). Problemy Nelinejnogo Analiza V Ingenernyh Sistemah / Problems of Nonlinear Analysis in Engineering Systems. , v.13, n. 27, pp.50 - 63, 2007. SAMPAIO, M. S. M. & ROCHA, G. L. Aplicação do Método de Homogeneização Assintótica a um problema de valor de contorno com coeficientes periódicos rapidamente oscilantes. Cadernos de Engenharia de Estruturas: Edição Especial “Método de Homogeneização Assintótica”, São Carlos, v. 12, n. 55, p. 1-16, 2010. SANCHEZ-HUBERT, J. & SANCHEZ-PALENCIA, E. Introduction aux méthodes asymptotiques et á homogénéisation. MASON, 1992. TALBOT, D.R.S. Bounds for effective properties of nonlinear composites. Preimpreso No. 98 IIMAS-UNAM, México, 2000.