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26/09/2018 - 27/09/2018

Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Algebra

Pode-se dizer que na área da Álgebra, um dos problemas de maior relevância ao longo da história foi o de encontrar soluções para equações polinomiais. Durante muito tempo, o principal intuito era o de encontrar fórmulas que envolvessem operações elementares (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação) com os coeficientes da equação polinomial em questão. Este método é chamado de "solução por radicais". Sabia-se da existência de tais fórmulas para equações de grau 2 (Fórmula de Bhaskara), de grau 3 (Fórmula de Tartaglia-Cardano) e grau 4. Entretanto, em 1843, o matemático J. Liouville apresentou na Academia de Ciências de Paris, os resultados de E. Galois, os quais afirmavam que equações polinomiais de grau maior ou igual a 5 não são solúveis por radicais. Para a construção de tal teoria se faz necessária uma conexão entre a Teoria de Corpos e Teoria de Grupos bem como um determinado isomorfismo com o grupo de permutações S_n. Sendo assim, se faz importante estudar a não-solubilidade do grupo S_n, para n maior do que 4. Devido a sua importância dentro da Teoria de Galois, este minicurso tem como objetivo estudar propriedades do grupo de permutações S_n com a finalidade de introduzir e familiarizar os participantes com a teoria de grupos e exemplos deste tipo. outra motivação para a escolha de tal tema se dá pelo Teorema de Cayley o qual diz que se um grupo G tem um número finito de elementos n, então G é isomorfo a um subgrupo de S_n. Ou seja, o grupo S_n nos fornece uma importante ferramenta de classificação de grupos com número finito de elementos.