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12/01/2018 - 12/01/2020

Ciências Exatas e da Terra - Matemática - Geometria Diferêncial

Nos últimos anos, vários problemas de Equações Diferenciais Parciais motivados por problemas geométricos vêm sendo estudados por pesquisadores de ambas as áreas. Um dos problemas que unem essas duas áreas é o estudo das superfícies de curvatura média constante, o qual pode ser investigado sob o ponto de vista de uma equação diferencial parcial. Assuntos desta natureza foram estudados amplamente nos últimos anos por Analistas e Geômetras. Na década de 90, uma questão proposta por dois Matemáticos motivou a produção de vários artigos científicos. A Pergunta era: “Dadas duas curvas de Jordan em planos paralelos distintos, existe uma superfície com curvatura média constante, topologicamente um anel, que tem por bordo tais curvas?”. Pretendemos, neste trabalho, ainda motivados por esta questão, que já foi parcialmente respondida, estender os resultados obtidos até então, em alguns aspectos geométricos. Primeiramente, trataremos de investigar a possibilidade de enfraquecer as hipóteses existentes até então para garantir a existência de Superfícies de Curvatura Média Constante nas condições da pergunta colocada neste texto. Posterior a isto, pretendemos estender o resultado, colocando o problema em ambientes mais gerais que o espaço euclidiano. A justificativa para tal estudo se dá ao fato de que os resultados obtidos nesta área de pesquisa atualmente têm sofrido uma extensão natural para ambientes mais gerais que o euclidiano, as quais chamamos de variedades diferenciáveis . As variedades diferenciáveis são uma generalização do conceito de superfícies e veem se mostrando um ambiente ideal para modelar vários problemas do campo da Física, Economia e Engenharia. Com esta extensão no espaço ambiente, aumenta a necessidade do conhecimento da área de Geometria, pois em determinados momentos da pesquisa as técnicas de resolução de EDP’s dão espaço para o uso de ferramentas que dependem da geometria do espaço ambiente, ou seja da variedade diferenciável onde a equação foi modelada. Em particular, objetos geométricos como o tensor curvatura, influenciam na existência ou não de soluções para uma dada equação.