Nome do Projeto
SOLUÇÕES ANALÍTICAS E HÍBRIDAS NA MODELAGEM MATEMÁTICA
Ênfase
Pesquisa
Data inicial - Data final
01/11/2021 - 30/09/2025
Unidade de Origem
Coordenador Atual
Área CNPq
Ciências Exatas e da Terra
Resumo
Desenvolver e aplicar metodologias e técnicas analíticas, numéricos ou combinação destas para a resolução de problemas inerentes a modelos matemáticos de fenômenos que ocorrem em diversas áreas da ciência, na natureza e no desenvolvimento de novas tecnologias, com intuito de fornecer resultados tão precisos quanto possível em tempo suficiente hábil. Para isto, empregam-se métodos oriundos de diversas áreas da matemática com o intuito de abranger o maior número possível de fenômenos físicos e naturais.

Objetivo Geral

Neste projeto propõem-se investigar soluções hibridas numérico-analíticas para problemas aplicados às ciências exatas e da terra e engenharias que forneçam resultados mais precisos e eficientes quanto possíveis para casos realísticos de problemas diversos de modelagem matemática relacionados a problemas gerais, que abranjam não só fenômenos de transporte, mas outras aplicações que envolvam de alguma forma modelos matemáticos que descrevam possíveis fenômenos do mundo físico.

Justificativa

Um modelo matemático é um retrato dos fenômenos da natureza através das leis de conservação e dos balanços das grandezas envolvidas. Grande parte dos problemas reais são tratados do ponto de vista matemático. O grau de detalhamento e as informações que quisermos extrair está intimamente ligado à complexidade que o modelo vai carregar. Isso pode se tornar intratável e de difícil interpretação, o que nos leva a simplificar o modelo dentro de uma plausibilidade de hipóteses, que permitam ainda extrair informações globais, com certa relevância física. O grau de sofisticação dos modelos leva-nos a soluções matemáticas cada vez mais robustas, seja do ponto de vista numérico ou analítico. Além disso, uma pergunta equivocada que sempre surge é: O modelo é correto? Esta, com certeza, é uma pergunta fora de contexto, que pode levar a tomada de decisão errada. A pergunta correta a se fazer é: O modelo fornece respostas plausíveis com a realidade ou experimentos observados?
A partir dessas indagações o processo de modelagem se inicia. Ele se refere ao que queremos descrever, partindo de um modelo proposto (ou construindo nosso próprio modelo), fazendo simplificações ou acrescentando mais informações, propondo soluções e, por fim, analisando seus resultados. Por isso, claramente, é um processo interdisciplinar que envolve várias áreas do conhecimento. Assim, esse processo pode ser dividido em três etapas: construção de um modelo; proposta de resolução das equações e interpretação dos resultados fornecidos.
É neste estágio que se tenta codificar em linguagem matemática o fenômeno da natureza, baseado nos princípios de conservação das leis da física e na lei das ações das massas. Além disso, é nesta etapa que se procura identificar as variáveis dependentes e independentes que regem o processo, bem como são feitas a escolha das unidades e escala das grandezas que se deseja trabalhar. Além do mais, nesta etapa pode-se exigir constantes físicas e parâmetros que venham a fornecer subsídios ao modelo, bem como o auxílio de variáveis auxiliares. Por fim, não menos importante, o modelo deve ser consistente do ponto de vista dimensional, a fim de que as informações possíveis de serem extraídas tenham sentido e significado físico compatíveis. Cabe ressaltar que estamos tratando aqui exclusivamente de modelos teóricos. Então, o modelo precisa se ajustar às hipóteses preestabelecidas, a fim de sujeitar-se àquelas leis compatíveis com as restrições por elas impostas. Bem como, à medida que se eliminam as restrições (reduz-se as hipóteses de trabalho) o modelo deve conter os casos mais simples como limite.
A partir desse ponto deve-se chegar a um conjunto de equações diferenciais ou integrais ou até mesmo integro-diferenciais que descrevem de forma apropriada o processo real. Para isso, o processo de modelagem poderá tratar o problema como: linear ou não linear; discreto ou contínuo; estático ou dinâmico e probabilístico ou determinístico.
Além disso, partindo das leis clássicas da física como a quantidade de movimento, energia e matéria, grande parte dos fenômenos físicos podem ser modelados e abarcados através do transporte da quantidade de movimento; do transporte de energia e do transporte (transferência) de massa entre as espécies químicas.
O transporte (transferência) dessas grandezas e a construção de seus modelos guardam fortes analogias, tanto físicas como matemáticas, de tal forma que a análise matemática empregada é praticamente a mesma.
Além do mais, ao longo dos anos o autor deste projeto vem trabalhando na busca de soluções para diversos problemas de fenômenos de transporte na área de física de reatores nucleares que envolvem as equações da Cinética Espacial e Pontual da teoria de Difusão de Nêutrons. Através de soluções puramente analíticas (Transformadas Integrais [1,2] e Método da Decomposição [3,4]), soluções numéricas (Método de Rosembrock[5]) e soluções híbridas (Método das Fronteiras Fictícias [6] e Iterativo de Fonte [7]) foram desenvolvidos inúmeras formas para resolver diversos problemas de física de reatores, incluindo diversas geometrias, várias grupos de energia e precursores, diversas regiões heterogêneas e problemas com e sem fonte externa. Nos últimos anos tem havido um notório avanço dos métodos híbridos, uma vez que eles abrangem uma combinação das metodologias analíticas e numéricas, fornecendo resultados muito satisfatórios do ponto de vista de eficiência computacional com precisão em nível de resultados benchmark.


Referências
[1] Petersen, C. Z.; Vilhena, M. T.; Bodmann, B. J. E.; Dulla, S.; Ravetto P. On the exact solution for the multi-group kinetic neutron diffusion equation in a rectangle, International Conference on Mathematics and Computational Methods Applied to Nuclear Science and Engineering, M&C2011, 2011 b.

[2] Petersen Z. C., “Solução Analítica das Equações da Cinética Pontual e Espacial da Teoria de Difusão de Nêutrons pelas Técnicas da GITT e Decomposição”, 2011. Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico. Orientador: Marco Túllio Menna Barreto de Vilhena.

[3] PETERSEN, C. Z.; DULLA, S. ; VILHENA, M. T. ; RAVETTO, P. . An analytical solution of the Point Kinetics equations with time variable reactivity by the Decomposition Method. Progress in Nuclear Energy (New series) , v. 53, p. 1091-1094, 2011

[4] SILVA, J.J.A. ; ALVIM, A.C.M. ; VILHENA, M.T.M.B. ; BODMANN, B.E.J. ; PETERSEN, C.Z. . On a closed-form solution of the point kinetics equations with reactivity feedback of temperature. International Journal of Nuclear Energy, Science and Technology (Print), v. 8, p. 131-145, 2014.

[5] SCHAUN, N. B. ; FERNANDA TUMELERO ; PETERSEN, C. Z. . Solução das equações da cinética pontual de nêutrons com feedback de temperatura via método de Rosembrock. In: XXIII Encontro Nacional de Modelagem Computacional, 2020, Palmas (TO). Aplicações em Engenharia Nuclear (ENC), 2020. v. 1. p. 1-8.

[6] ZANETTE, R. ; PETERSEN, C. Z. ; SCHRAMM, M. ; ZABADAL, Jorge Rodolfo . Solution of the multilayer multigroup neutron diffusion equation in cartesian geometry by fictitious borders power method. KERNTECHNIK , v. 82, p. 232-238, 2017.

[7] ZANETTE, RODRIGO ; PETERSEN, CLAUDIO ZEN ; TAVARES, MATHEUS GULARTE . Solution of the Multigroup Neutron Diffusion Eigenvalue Problem in Slab Geometry by Modified Power Method. BRAZILIAN JOURNAL OF RADIATION SCIENCES, v. 8, p. 1-15, 2021.

Metodologia

Sem perda de generalidade, sabe-se que grande parte dos problemas de modelagem matemática envolvem fenômenos de difusão, que são casos particulares dos processos de fenômenos de transporte. Então, de certa forma, grande parte dos problemas de matemática aplicada envolvem uma componente temporal, um termo difusivo espacial e um termo fonte, que é representado, em sua forma mais geral, como a equação da continuidade.
Através das leis constitutivas e leis de conservação é possível relacionar as funções incógnitas em cada situação particular. Então a ideia central deste projeto é aplicar métodos analíticos nos termos espaciais e aproximações numéricas, quando necessárias, nos termos temporais, a fim de obter soluções analíticas ou híbridas que forneçam resultados com certa velocidade e precisão para casos realísticos.

Indicadores, Metas e Resultados

1) Desenvolvimento de soluções para diversos modelos, em especial mas não restrito a fenômenos de transporte;

2) Implementação computacional de diversos modelos, em especial mas não restrito a fenômenos de transporte;

2) Publicação dos resultados em periódicos e eventos;

3) Formação de recursos humanos na área de modelagem matemática.

4) Cooperação entre os Programas de Pós-Graduação em Matemática Aplicada (PPGMAp) da UFRGS e Modelagem Matemática (PPGMMAT) da UFPel, bem como cooperação com campus Litoral Norte da UFRGS.

Equipe do Projeto

NomeCH SemanalData inicialData final
AQUILES ALMEIDA RIBEIRO
CLAUDIO ZEN PETERSEN12
FELIPE GONCALVES DE SOUZA
FERNANDA KRÜGER TOMASCHEWSKI8
FERNANDA TUMELERO
JORGE LUIZ DE MELLO CAURIO JUNIOR

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