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Objetivo Geral:

Objetivo(s) geral(ais):
• Efetuar um estudo aprofundado da teoria de sequências e séries numéricas e de funções.

Objetivo(s) Específico(s):
• Estudar testes de convergência de séries numéricas e de funções.
• Investigar propriedades de continuidade, diferenciabilidade e integrabilidade de séries de funções.
• Desenvolver conceito de séries de potências.
• Estudar as propriedades das séries de potências.
• Aplicar as séries de Taylor no desenvolvimento de funções elementares.

Unidade 1 - Sequências e séries numéricas

1.1. Conceito de sequência numérica e série numérica;
1.2. Teoremas de comparação para séries de termos positivos;
1.3. Critério integral de convergência das séries de termos positivos;
1.4. Critério de Cauchy de convergência de série arbitrária. Convergência absoluta e condicional;
1.5. Teste de Cauchy e teste de D’Alembert;
1.6. Séries alternadas (teste de Leibniz);
1.7. Testes de Dirichlet e Abel;
1.8. Propriedade associativa da série convergente;
1.9. Propriedade comutativa da série absolutamente convergente;
1.10. Séries condicionalmente convergentes (Teorema de Riemann).

Unidade 2 - Sequências e séries funcionais

2.1. Conceito de convergência uniforme e não uniforme;
2.2. Critério de Cauchy de convergência uniforme;
2.3. Condições suficientes da convergência uniforme (testes de Weierstrass, de Dirichlet e de Abel);
2.4. Continuidade da função limite de uma série;
2.5. Teoremas de Dini;
2.6. Passagem ao limite do termo ao termo numa série funcional Integração por parâmetro;
2.7. Diferenciação por parâmetro.

Unidade 3 - Séries de potências

3.1. Região de convergência de série de potências. Lema de Abel;
3.2. Cálculo de raio de convergência. Teorema de Cauchy-Hadamar;
3.3. Comportamento de série de potências dentro do círculo de convergência: convergência uniforme, continuidade da some da série, teorema de Abel, integração e diferenciação da série;
3.4. Série de potências como série de Taylor. Condições de desenvolvimento de uma função em série de potências;
3.5. Desenvolvimento de funções elementares em série de potências.

Bibliografia Básica:

• ÁVILA, G.S.S. Análise matemática: para licenciatura. 3.ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2006. ISBN: 9788521215363. E-book.
• SPIVAK, M. Calculus.4.ed. Texas: Publish or Perish, 2008.
• STEWART, J.; Clegg, D.; Watson, S. Cálculo, Vol.2. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2022. ISBN: 9786555584103. E-book.

Bibliografia Complementar:

• BARTLE, R.G. Elementos de análise real. Rio de Janeiro: Campus, 1983.
• BOURCHTEIN, L; Bourchtein, A.Theory of Infinite Sequences and Series. Cham: Birkhauser/Springer, 2022.
• LIMA, E.L. Curso de análise. Vol.1. 14.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.
• RUDIN, W. Principles of mathematical analysis. 3.ed. New York: McGraw-Hill, 1976.
• ZAHN, M. Análise real. São Paulo: Editora Blucher, 2022. ISBN: 9786555065398. E-book.