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Objetivo Geral:

Objetivo(s) geral(ais):
● Ampliar o conhecimento matemático do estudante, apresentando a teoria de funções de uma variável complexa.


Objetivo(s) específico(s):
● Estudar o conceito dos números complexos e operações;
● Desenvolver conceitos de função de uma variável complexa, de limite e continuidade dessa função;
● Introduzir e estudar conceitos de diferenciabilidade e regularidade de funções de uma variável complexa; mostrar diferença destes em comparação com os de funções reais;
● Estudar propriedades de funções complexas diferenciáveis;
● Desenvolver noções de pontos singulares e resíduos;
● Estudar desenvolvimento de funções regulares em anel em série de Laurent;
● Aplicar teorema dos resíduos para cálculo de integrais.

Introdução.
- Números complexos e operações com eles.
- Projeção estereográfica dos números complexos.
- Conjuntos e curvas no plano complexo.
- Funções de uma variável complexa.
- Funções dependentes de parâmetro.
- Séries funcionais; séries de potências.
- Integral de função complexa; integrais dependentes de um parâmetro.

Funções regulares e suas propriedades.
- Funções diferenciáveis e regulares.
- Teorema de Cauchy; teorema de Goursat.
- Fórmula integral de Cauchy; critério principal de regularidade.
- Diferenciabilidade infinita de função regular.
- Funções harmônicas e harmônicas conjugadas.
- Primitiva de função regular.
- Condições de regularidade.
- Princípio de unicidade de função regular.
- Conceito de prolongamento analítico de função em região.
- Conceito de função analítica multivalente; superfície de Riemann.

Pontos singulares, série de Laurent e resíduos.
- Ponto singular na fronteira de círculo de convergência.
- Condição suficiente de ponto singular de fronteira.
- Desenvolvimento de função em série de Laurent.
- Classificação de pontos singulares: pontos singulares removíveis, polos, pontos singulares essenciais.
- Conceito de resíduo; teorema principal de resíduos.
- Cálculo de resíduos. Aplicação do teorema de resíduos nas integrais impróprias.
- Lema de Jordan.
- Tipos principais de integrais calculadas através de resíduos.

Bibliografia Básica:

• BOURCHTEIN, L.; Bourchtein, A.Teoria das funções de variável complexa. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
• BROWN, J.; Churchill, R. Variáveis complexas e aplicações. Porto Alegre: Grupo A, 2015. ISBN: 9788580555189. E-book.
• LINS NETO, A. Funções de uma variável complexa. 2.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012.

Bibliografia Complementar:

• ABLOWITZ, M.J.; Fokas, A.S. Complex Variables: introduction and applications. 2.ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2003.
• ÁVILA, G.S.S. Variáveis complexas e aplicações. 3.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
• SHOKRANIAN, S. Variável complexa 1. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 2002.
• SPIEGEL, M.R. Variáveis Complexas: com uma introdução as transformações conformes e suas aplicações. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1973.
• ZILL, D.; Shanahan, P. Curso introdutório à análise complexa com aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011.