Nome da Atividade
TÓPICOS AVANÇADOS DO CÁLCULO
CÓDIGO
11100129
Carga Horária
60 horas
Tipo de Atividade
DISCIPLINA
Periodicidade
Semestral
Modalidade
PRESENCIAL
Unidade responsável
CARGA HORÁRIA TEÓRICA
4
CARGA HORÁRIA OBRIGATÓRIA
4
CRÉDITOS
4
FREQUÊNCIA APROVAÇÃO
75%
Ementa
Funções de uma variável complexa; Transformada de Laplace; Funções Especiais; Séries de Fourier; Problemas de valores de contorno e teoria de Sturm-Liouville; Transformada de Fourier.
Objetivos
Objetivo Geral:
Conteúdo Programático
I. Função de uma variável complexa
1. Funções, limites, continuidade e derivadas.
2. Equações de Cauchy-Riemann. Integrais.
3. Fórmulas integrais de Cauchy. Séries de Taylor.
4. Pontos singulares. Polos. Séries de Laurent. Ramos e pontos de ramificação.
5. Resíduos. Teorema do Resíduo e suas aplicações.
6. Cálculos de integrais definidas. Representações integrais.
II. Transformada de Laplace
1. Cálculo operacional.
2. A integral de Laplace. Propriedades básicas da transformada.4.3
3. O problema da inversão.
4. O teorema da Convolução.
5. Aplicações da transformada de Laplace.
6. Introdução à teoria de distribuições.
III. Funções Especiais
1. Polinômios de Legendre.
2. Séries de Fourier-Legendre.
3. As funções de Bessel.
4. Funções de Legendre associadas e Harmônicas Esféricas.
5. Funções de Neumann.
6. Funções de Bessel Modificadas.
IV. Séries de Fourier
1. Séries de Funções
2. Séries Trigonométricas.
3. Definições de Séries de Fourier. Exemplos de Séries de Fourier.
4. Propriedades de paridade. Séries em seno e cosseno.
5. Fórmula complexa das séries de Fourier.
6. Aplicações da série de Fourier.
V. Problemas de Valores de Contorno e Teoria de Sturm Liouville
1. Problemas de Valores de contorno de Sturm Liouville.
2. Problemas de Valores de contorno Não-Homogêneos.
3. Problemas de Sturm Liouville Singulares.
4. Observações adicionais sobre o método de separação de variáveis: uma expansão em Funções de Bessel.
5. Séries de Funções Ortogonais: Convergência na Média.
VI. Transformada de Fourier
1. Representações de uma função. Exemplos de transformadas de Fourier.
2. Propriedades da transformada de Fourier.
3. O teorema da integral de Fourier.
4. Transformadas Seno e Cosseno de Fourier.
5. Aplicações das Transformadas de Fourier.
1. Funções, limites, continuidade e derivadas.
2. Equações de Cauchy-Riemann. Integrais.
3. Fórmulas integrais de Cauchy. Séries de Taylor.
4. Pontos singulares. Polos. Séries de Laurent. Ramos e pontos de ramificação.
5. Resíduos. Teorema do Resíduo e suas aplicações.
6. Cálculos de integrais definidas. Representações integrais.
II. Transformada de Laplace
1. Cálculo operacional.
2. A integral de Laplace. Propriedades básicas da transformada.4.3
3. O problema da inversão.
4. O teorema da Convolução.
5. Aplicações da transformada de Laplace.
6. Introdução à teoria de distribuições.
III. Funções Especiais
1. Polinômios de Legendre.
2. Séries de Fourier-Legendre.
3. As funções de Bessel.
4. Funções de Legendre associadas e Harmônicas Esféricas.
5. Funções de Neumann.
6. Funções de Bessel Modificadas.
IV. Séries de Fourier
1. Séries de Funções
2. Séries Trigonométricas.
3. Definições de Séries de Fourier. Exemplos de Séries de Fourier.
4. Propriedades de paridade. Séries em seno e cosseno.
5. Fórmula complexa das séries de Fourier.
6. Aplicações da série de Fourier.
V. Problemas de Valores de Contorno e Teoria de Sturm Liouville
1. Problemas de Valores de contorno de Sturm Liouville.
2. Problemas de Valores de contorno Não-Homogêneos.
3. Problemas de Sturm Liouville Singulares.
4. Observações adicionais sobre o método de separação de variáveis: uma expansão em Funções de Bessel.
5. Séries de Funções Ortogonais: Convergência na Média.
VI. Transformada de Fourier
1. Representações de uma função. Exemplos de transformadas de Fourier.
2. Propriedades da transformada de Fourier.
3. O teorema da integral de Fourier.
4. Transformadas Seno e Cosseno de Fourier.
5. Aplicações das Transformadas de Fourier.
Bibliografia
Bibliografia Básica:
- 1. Arfken, G.B.; Weber, H.J.; Harris, F.E., Física Matemática: Métodos Matemáticos para engenharia e física. 7. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2013.
- 2. Ávila, G.S.S., Variáveis complexas e aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
- 3. Beerends, R.J.; ter Morsche, H.G.; van den Berg, J.C.; van de Vrie, E.M., Fourier and Laplace Transforms. Cambridge University Press, 2003.
- 4. Butkov, E., Física-matemática. Rio de Janeiro: LTC, 1988.
- 5. Brown, J.W.; Churchill, R.V., Variáveis complexas e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: AMGH 2015
- 7. Debnath, L.; Bhatta, D., Integral Transforms and Their Applications. 3. ed. CRC Press, 2014.
- 8. Kreyszig, E., Advanced Engineering Mathematics. 10. ed. Wiley, 2011.
- 9. Lins, A.N., Funções de uma variável complexa. IMPA, 2005.
- 10. Riley, K.F.; Hobson, M.P.; Bence, S.J., Mathematical Methods for Physics and Engineering. 3. ed. Cambridge University Press, 2006.
- 11. Artigos científicos de revistas nacionais e internacionais relacionados com a disciplina e atuais