Nome do Projeto
Campos de velocidade aleatórios e cálculos Lagrangianos exatos
Ênfase
Pesquisa
Data inicial - Data final
15/03/2022 - 14/03/2026
Unidade de Origem
Coordenador Atual
Área CNPq
Ciências Exatas e da Terra
Resumo
Um tópico clássico de estudo na área de mecânica estatística de fluidos é o problema de transporte passivo em campos de velocidade aleatória, o que é, por exemplo, um componente essencial em modelagem do clima e previsão do tempo.
Iniciamos a descrição do nosso problema estudando o movimento de uma partícula simples. Suponhamos que U = U(x,t) é um campo de velocidade em R^2, isto é, U descreve a velocidade em cada ponto x = (x_1,x_2) do plano e corresponde a visão de como um observador externo vê o campo de velocidade. Neste caso, dizemos que U fornece a descrição Euleriana do campo de velocidade. Seja X_t uma variável aleatória tomando valores em R^2 que descreve a posição de uma partícula no tempo t. Além disso, suponhamos que X_t satisfaz a equação diferencial do movimento
(1) dX_t = U(X_t,t) dt, t>0,
isto é, a partícula move-se, exatamente, com o fluido. A velocidade U(X_t,t) fornece a descrição Lagrangiana do movimento da partícula, isto é, quando o sistema de coordenadas segue a partícula. Um melhor entendimento do problema de transporte passivo poderia ser alcançado se pudermos relacionar melhor as descrições Euleriana e Lagrangiana e seus resultados. Contudo, tal relacionamento é complexo e carece de resultados teóricos, pois a grande maioria dos resultados disponíveis na literatura ainda se apoiam, basicamente, em simulações ou aproximações. O principal objetivo desse projeto de pesquisa é obter relações explícitas e cálculos exatos para as descrições Euleriana e Lagrangiana sem a utilização de simulações ou aproximações.
Objetivo Geral
O principal objetivo do projeto é ampliar os resultados já obtidos por SCHNEIDER (2018). Nesse sentido propomos continuar buscando resultados teóricos e cálculos exatos para o problema de transporte passivo em campos de velocidade aleatória.
Os objetivos específicos são:
• Aprimorar o código computacional utilizado para calcular de forma exata os coeficientes de Taylor na expansão da auto-covariância Lagrangiana;
• Analisar as interações entre diversos parâmetros do problema e como estes influenciam estatísticas Eulerianas e Lagrangianas do campo de velocidade aleatória;
• Obter resultados análogos aos já obtidos para o problema de transporte passivo com difusão molecular.
Os objetivos específicos são:
• Aprimorar o código computacional utilizado para calcular de forma exata os coeficientes de Taylor na expansão da auto-covariância Lagrangiana;
• Analisar as interações entre diversos parâmetros do problema e como estes influenciam estatísticas Eulerianas e Lagrangianas do campo de velocidade aleatória;
• Obter resultados análogos aos já obtidos para o problema de transporte passivo com difusão molecular.
Justificativa
O problema de transporte passivo de partículas tem sido estudado por muitos anos. Vários pesquisadores têm, continuamente, somado esforços para obter um melhor entendimento desse problema e fornecer respostas à várias questões teóricas que continuam abertas.
A quantidade e qualidade de resultados obtidos através de simulações numéricas aumentou, consideravelmente, desde as últimas décadas do século XX na área de transporte partículas. Modelos que permitem simular sistemas com altos níveis de complexidade, como por exemplo sistemas climáticos, fornecem bons resultados somente para pequenos períodos de tempo, como dias ou semanas. Contudo, considerando a caoticidade de vários sistemas e imprevisibilidade dos fenômenos modelados, a qualidade dos resultados gerados por simulações numéricas torna-se pouco confiável. Surge então a necessidade da obtenção de resultados teóricos que permitam termos resultados confiáveis mesmo quando os períodos de tempo considerados são anos, décadas ou até mesmo séculos.
Quanto à necessidade de relacionar os frameworks Euleriano e Lagrangiano, em geral, dados experimentais são mais facilmente coletados sob a perspectiva Euleriana, quando o sistema de coordenados é imóvel, e sensores fixos são instalados para coletar informações ao longo do tempo. Contudo, muitos cálculos e
simplificações da teoria do transporte passivo de partículas desenvolve-se de forma mais natural ao se considerar o sistema de coordenadas móvel, seguindo o movimento da partícula de interesse. Encontrar relacionamentos explícitos entre as perspectivas Euleriana e Lagrangiana permitirá estabelecermos uma melhor relação e entendimento entre resultados empíricos e teóricos.
A quantidade e qualidade de resultados obtidos através de simulações numéricas aumentou, consideravelmente, desde as últimas décadas do século XX na área de transporte partículas. Modelos que permitem simular sistemas com altos níveis de complexidade, como por exemplo sistemas climáticos, fornecem bons resultados somente para pequenos períodos de tempo, como dias ou semanas. Contudo, considerando a caoticidade de vários sistemas e imprevisibilidade dos fenômenos modelados, a qualidade dos resultados gerados por simulações numéricas torna-se pouco confiável. Surge então a necessidade da obtenção de resultados teóricos que permitam termos resultados confiáveis mesmo quando os períodos de tempo considerados são anos, décadas ou até mesmo séculos.
Quanto à necessidade de relacionar os frameworks Euleriano e Lagrangiano, em geral, dados experimentais são mais facilmente coletados sob a perspectiva Euleriana, quando o sistema de coordenados é imóvel, e sensores fixos são instalados para coletar informações ao longo do tempo. Contudo, muitos cálculos e
simplificações da teoria do transporte passivo de partículas desenvolve-se de forma mais natural ao se considerar o sistema de coordenadas móvel, seguindo o movimento da partícula de interesse. Encontrar relacionamentos explícitos entre as perspectivas Euleriana e Lagrangiana permitirá estabelecermos uma melhor relação e entendimento entre resultados empíricos e teóricos.
Metodologia
Vamos considerar um campo de velocidade aleatório em R^2 que pode ser realizado como uma soma finita de N modos de Fourier com os seguintes parâmetros aleatórios: amplitudes R_n, números de onda W_n e fases Phi_n, para n=1, 2, ..., N, ou seja,
(2) U(x,t) = sum_(n=1)^N R_n cos(W_n.x + Phi_n) W_n^perp.
Atribuindo, apropriadamente, distribuições para os parâmetros aleatório do modelo podemos fazer com que o campo de velocidades U(x,t) tenha média zero e seja homogêneo, estacionário e incompressível. Além disso, se X_t satisfaz a equação do movimento (1) então a auto-covariância Lagrangiana é definida por
(3) Sigma_t(0) = E[U(0)U(t)], t>0.
Expandindo (2) em série de Taylor, podemos utilizar alguns resultados teóricos obtidos em (SCHNEIDER, 2018), para obter coeficientes de ordem elevada.
Para o estudo e análise problema de transporte passivo de partículas com difusão molecular podemos considerar a equação diferencial estocástica
(4) dX_t = U(X_t,t) dt+sigma dW_t, t>0,
onde W_t é um processo estocástico de Wiener independente de U(X_t,t). Nesse caso, faz-se necessário a utilização de cálculo estocástico de Itô.
(2) U(x,t) = sum_(n=1)^N R_n cos(W_n.x + Phi_n) W_n^perp.
Atribuindo, apropriadamente, distribuições para os parâmetros aleatório do modelo podemos fazer com que o campo de velocidades U(x,t) tenha média zero e seja homogêneo, estacionário e incompressível. Além disso, se X_t satisfaz a equação do movimento (1) então a auto-covariância Lagrangiana é definida por
(3) Sigma_t(0) = E[U(0)U(t)], t>0.
Expandindo (2) em série de Taylor, podemos utilizar alguns resultados teóricos obtidos em (SCHNEIDER, 2018), para obter coeficientes de ordem elevada.
Para o estudo e análise problema de transporte passivo de partículas com difusão molecular podemos considerar a equação diferencial estocástica
(4) dX_t = U(X_t,t) dt+sigma dW_t, t>0,
onde W_t é um processo estocástico de Wiener independente de U(X_t,t). Nesse caso, faz-se necessário a utilização de cálculo estocástico de Itô.
Indicadores, Metas e Resultados
Pretendemos estender alguns resultados teóricos já obtidos por SCHNEIDER (2018), principalmente, no que diz respeito a convergência da expansão em série de Taylor para a auto-covariância Lagrangiana. Também pretendemos obter um código computacional mais eficiente e que permita calcular um maior número de coeficientes de Taylor para a função de auto-covariância Lagrangiana, de acordo com SCHNEIDER e ZIRBEL (2021).
Obter resultados análogos aos já obtidos para o problema de transporte passivo com difusão molecular.
Obter resultados análogos aos já obtidos para o problema de transporte passivo com difusão molecular.
Equipe do Projeto
| Nome | CH Semanal | Data inicial | Data final |
|---|---|---|---|
| EDUARDO DA SILVA SCHNEIDER | 50 | ||
| MARCELO AUGUSTO BECKER DALLMANN |