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Este projeto permitirá o aprimoramento sobre a dispersão de poluentes na camada limite atmosférica em condições estáveis. Os modelos estocásticos Lagrangeanos realizarão simulações do transporte e da difusão de poluentes, considerando a aplicação de parametrizações baseadas em uma nova expressão para o espectro de energia cinética turbulenta. Estudos na camada limite noturna encontram inúmeras dificuldades, principalmente por causa da baixa intensidade da turbulência, do decaimento da turbulência na camada residual e do meandro do vento gerado por baixas velocidade do vento. Com as parametrizações para regiões de turbulência ativa será possível, portanto, avaliar a dispersão de poluentes em condições de camada limite muito estável e turbulência intermitente. Tal possibilidade representa uma novidade no estudo de dispersão atmosférica e justifica o projeto.

1. Características da Camada Limite Planetária

A atmosfera é um conjunto de gases, vapor d’água e partículas, as quais constituem o ar que envolve a superfície da Terra. Ela é usualmente dividida em camadas em função do perfil médio de temperatura. A camada mais baixa da atmosfera, a troposfera, é caracterizada por apresentar uma diminuição da temperatura com a altura. Esta camada pode atingir, em média, a profundidade de 11 km. A troposfera ainda pode ser dividida em duas partes, a parte mais baixa é diretamente afetada pelo contato direto com a superfície da Terra e é conhecida como camada limite planetária, que vai desde a superfície terrestre até a altura na qual esta superfície exerce influência importante no escoamento do ar. A espessura desta camada sofre mudanças no tempo e no espaço, variando de aproximadamente 10 m até em torno de 2 a 3 km, e depende da taxa de aquecimento e resfriamento da superfície da Terra, do cisalhamento do vento, da rugosidade da superfície, dos movimentos verticais de grande escala, da advecção horizontal de calor e umidade, entre outros fatores. A parte superior da troposfera, região que fica acima da camada limite é chamada de Atmosfera Livre e o fluxo de ar nesta camada não é turbulento.

2. Modelos Estocásticos Lagrangeanos

Os modelos estocásticos Lagrangeanos descrevem o movimento de um conjunto de partículas que seguem passivamente o escoamento. As partículas movem-se seguindo os vórtices turbulentos, descrevendo trajetórias casuais. Este modelo é, portanto, estatísticos, ou seja, as grandezas físicas responsáveis pelo deslocamento das partículas são especificadas em termos probabilísticos. A partir da distribuição espacial das partículas em um certo instante de tempo é possível determinar a concentração do poluente emitido.
Para descrever tal comportamento, as velocidades das partículas são calculadas pela equação de Langevin (Rodean, 1996). Integrando-se numericamente a equação de Langevin, calcula-se os valores de velocidade turbulenta, que podem ser utilizados para determinar a posição de cada partícula. Conhecendo-se a posição e a massa de cada partícula, pode-se calcular a concentração em qualquer ponto do domínio de simulação através da contagem das partículas. Os modelos estocásticos Lagrangeanos podem ser classificados como Modelos de Velocidade Aleatória e Modelos de Deslocamento Aleatório.

2.1 Modelo de Velocidade Aleatória

O modelo de velocidade aleatória, proposto nesse projeto, é baseando no trabalho de Thomson (1987). Ele utilizou a equação diferencial estocástica de Langevin e assumiu que a evolução da velocidade e do deslocamento (x,u) de uma partícula é um processo de Markov, e que os vetores x e u são funções contínuas do tempo (t) . A equação de Langevin é representada pela soma de um termo determinístico e um termo estocástico (termo de difusão). O termo determinístico depende da função densidade de probabilidade (PDF) Euleriana para a velocidade turbulenta e é determinado a partir da equação de Fokker-Planck (Rodean, 1996). Nas duas direções horizontais, assume-se que a PDF é Gaussiana. Na direção vertical, a PDF é não-Gaussiana (para levar em conta as condições turbulentas não-uniformes e/ou convecção). O termo de difusão é obtido a partir da função de estrutura Lagrangeana (a média de conjunto do quadrado da mudança da velocidade Lagrangeana em um intervalo de tempo) e está relacionado à constante de Kolmogorov para o subintervalo inercial (Degrazia e Anfossi, 1998). A constante é determinada a partir das variâncias das flutuações de velocidade e das escalas de tempo Lagrangeanas, que serão obtidas conforme descrito na seção 3 da metodologia.

2.2 Modelo de Deslocamento Aleatório

No modelo de velocidade aleatória, a integração deve ser feita em duas etapas para determinar o deslocamento aleatório de uma partícula. Inicialmente, a equação de Langevin é integrada para obter a solução para a velocidade das partículas e, depois, esta solução é usada para integrar a equação do deslocamento, que permite determinar os deslocamentos das partículas. Já no modelo de deslocamento aleatório, as equações de Lagevin e do deslocamento podem ser combinadas e transformadas em uma equação diferencial para os deslocamentos em grande tempo de difusão (t no infinito) (Rodean, 1994). No modelo de deslocamento aleatório, os termos determinístico e de difusão são definidos em termos de coeficientes de difusão, que serão obtidos conforme descrição na seção 3 da metodologia.

3. Parametrização da Turbulência

Os modelos Lagrangeanos serão parametrizados com novas expressões para os coeficientes de difusão e para as escalas de tempo Lagrangeanas, derivadas a partir de uma expressão para o espectro de velocidade turbulenta que considera o comportamento anômalo do fluxo turbulento. A expressão para o espectro assume que, durante o processo de cascata de energia cinética turbulenta (transferência de energia dos maiores para os menores turbilhões), somente uma fração do volume ocupado pelos vórtices será preenchido pela turbulência. A essência da teoria é assumir que o decaimento de -5/3 do espectro no subintervalo inercial ocorre somente nas regiões de turbulência ativa.
Considerando que a difusão em um escoamento turbulento é um fenômeno anômalo, é esperado que expressões fractais sejam mais apropriada para descrever o fenômeno. Além disso, o comportamento não-diferenciável do crescimento da pluma de poluentes emitidos por fontes pontuais está diretamente relacionado à estrutura fractal da velocidade turbulenta. O uso do cálculo fractal é justificado, portanto, pelo comportamento não-diferenciável do problema e pela presença de difusão anômala na camada limite planetária (Goulart et al. 2019, 2020).
Desta forma, esse projeto propõe aplicação de uma expressão para o espectro de velocidade turbulenta que é uma função da dimensão fractal de Hausdorff (Metzler, 2000), que servirá de base para a derivação das parametrizações de turbulência. Espectros de velocidade na camada limite planetária, que são uma função da dimensão fractal, não são encontrados na literatura.

4. Avaliação Estatística

Os resultados gerados pelos modelos Lagrangeanos, parametrizados com as novas expressões de turbulência, serão confrontados com dados de concentração de poluentes observados na Camada Limite Noturna. Os resultados gerados serão avaliados através dos seguintes índices estatísticos (Hanna, 1989):

NMSE - Erro Quadrático Médio Normalizado
FB - Desvio Fracional
FS - Desvio Padrão Fracional
R - Coeficiente de Correlação
FA2 - Fator de 2

O NMSE fornece a informação dos desvios entre concentrações previstas e observadas. O FB indica a tendência do modelo de subestimar ou superestimar as concentrações observadas. O FS indica o quanto o modelo consegue simular a dispersão dos dados observados. O FA2 fornece a fração dos dados em que o valor previsto está entre a metade e o dobro do observado. Quanto mais próximos de zero estiverem os valores de NMSE, FB e FS e quanto mais próximos de 1 estiverem os valores de R e FA2, melhores são os resultados.

Referências Bibliográficas

Degrazia, G.A. e Anfossi, D. (1998): Estimation of the Kolmogorov constant from classical statistical diffusion theory. Atmos. Environ., 32, 3611-3614.

Goulart A, Lazo MJ, Suarez JMS (2019) A new parameterization for the concentration flux using fractional calculus to model the dispersion of contaminants in the planetary boundary layer. Physica A-Stat Mech Appl 518:38–49.

Goulart A, Lazo MJ, Suarez JMS (2020) A deformed derivative model for turbulent diffusion of contaminants in the atmosphere. Physica A-Stat Mech Appl 557:124-847.

Hanna, S.R., 1989. Confidence limit for air quality models as estimated by bootstrap and jacknife resampling methods. Atmos. Environm. 23, 1385-1395.

Metzler JK (2000) The random walk's guide to anomalous di_usion: a fractional dynamics approach. Phys Rep 339:1-77.


Rodean H.C. (1994) Notes on the Langevin model for turbulent diffusion of "marked" particles, UCRL-ID-115869 Report of Lawrence Livermore National Laboratory, 122 pp

Rodean, H.C. (1996) Stochastic Lagrangian models of turbulent diffusion, published by the American Meteorological Society, 84 pp.

Stull, R.B. (1988) An introduction to Boundary Layer Meteorology, Kluwer Academic Publishers, Boston, 666 pp.

Thomson, D.J. (1987): Criteria for the selection of stochastic models of particle trajectories in turbulent flows. J. Fluid Mech., 180, 529-556.

Pretende-se apresentar os resultados da composição modelo-parametrização baseado em uma nova metodologia para abordar a difusão turbulenta na camada limite planetária sob condições estáveis. Espera-se que os resultados gerados a partir da nova metodologia apresentem evolução em relação aos métodos anteriores e que sirva de base para novos estudos e aplicações. Vale ressaltar que a aplicação de modelos computacionais para estudar a dispersão de poluentes na camada limite estável representa um grande desafio em função das características físicas complexas dessa região na atmosfera.